Game Theory / 賽局理論

賽局理論（Game Theory）是一個深刻影響了經濟學、經營學、社會學等多個領域的數學理論。

運用賽局理論，我們可以找到「在進行賽局時，如何預測對手的行動，並盡可能讓自己的得分最高、失分最少」的策略。

賽局理論據說是物理學家馮·諾伊曼所發想。

它的存在因馮·諾伊曼與經濟學家奧斯卡·摩根斯坦合著的《賽局理論與經濟行為》（1944年出版）而廣為人知，並在許多學術領域引起巨大反響。從此，賽局理論衍生出各種定理，其中最著名的就是「囚徒困境」。

研究賽局理論的學者中，已有超過10人獲得諾貝爾獎。

其中最著名的人物是「賽局理論家」中第一位獲得諾貝爾獎，同時也是電影《美麗境界: A Beautiful Mind》原型的約翰·納許。

賽局理論的經典案例

囚徒困境（Prisoner’s Dilemma）

在賽局理論中，這是最廣為人知的定理。

它是一種分析「當多個理性決策主體的收益，取決於彼此策略的相互依存關係」的數學方法。

這個定理的特點在於，儘管存在對雙方都有利的合作行為，但由於彼此無法溝通且缺乏約束力，最終卻會選擇對彼此都不利的背叛行為。

讓我們來看一個著名的「囚徒困境」故事：

故事背景

兩名幫派成員被逮捕並關入監獄。他們被關在不同的牢房，完全無法交談或互傳訊息。

警方承認他們沒有足夠的證據來起訴兩人重罪，因此打算以較輕的罪名，判處兩人各一年監禁。

然而，警方同時向兩名囚犯提出了一個「靈魂出賣」的交易。

「如果你對你的同伴進行不利的證詞，你將被釋放。但是，你的同伴將會被判處三年監禁。」

當然，這裡面有個陷阱：如果兩人都對對方做不利的證詞，那麼兩人都將被判處兩年監禁。

在「囚徒困境」中，通常會使用「收益矩陣（Payoff Matrix）」來進行分析。根據上述故事，我們可以建立以下的收益矩陣。

賽局設定

首先，我們設定賽局的要素：

收益矩陣

根據這些設定，我們可以建立以下的收益矩陣。

我們可以將矩陣中的四個結果空間，從右上角開始，依逆時針方向分別稱為「第一象限」、「第二象限」、「第三象限」和「第四象限」。

讓我們從嫌犯 A 的收益開始分析。他們有「緘默」和「坦白」兩種策略。

假設嫌犯 B 選擇「緘默」，嫌犯 A 應該選擇「緘默」還是「坦白」呢？

如果選擇「緘默」，嫌犯 A 的收益是「-1」。

如果選擇「坦白」，收益則是「0」。

因此，當對手嫌犯 B 選擇「緘默」時，嫌犯 A 應該選擇「坦白」。

同樣地，考慮所有情況：

從中我們可以清楚看到，無論嫌犯 B 選擇何種策略，嫌犯 A 應採取的策略都是「坦白」。

在賽局理論中，當一個策略能比所有其他策略獲得更大的收益時，我們稱這個策略「支配（Dominant）」其他策略。

如果一個策略能支配玩家的所有其他策略，則稱此策略為「支配策略（Dominant Strategy）」。

換句話說，「坦白」策略是嫌犯 A 的支配策略。同樣地，對於嫌犯 B 而言，無論嫌犯 A 採取何種策略，「坦白」都是他們的支配策略。

納許均衡（Nash Equilibrium）

透過上述分析，我們發現嫌犯 A 和嫌犯 B 兩人的支配策略組合，就是上圖中第四象限的收益組合。

這種組合被稱為「納許均衡」。「納許均衡」指的是一種「任何一方單獨改變策略都不會獲得更好結果」的狀態，也可以說，這是「所有玩家的策略都互為最佳反應」的狀態。

換句話說，第四象限的收益組合（-2, -2），就是雙方最佳反應的組合。

舉例來說，如果只有嫌犯 A 單獨改變策略，收益將會變成第一象限的 -3，收益變小了。同樣地，如果只有嫌犯 B 單獨改變策略，收益也會減少到第三象限的 -3。

因此，第四象限中由嫌犯 A 和 B 的支配策略組合而成的收益組合，就是「納許均衡」。

我們可以說「只要是支配策略均衡，就一定是納許均衡」。然而，其反向命題「只要是納許均衡，就一定是支配策略均衡」並不成立，這正是賽局理論引人入勝之處。

膽小鬼賽局（Chicken Game）

與囚徒困境形成對比的是「膽小鬼賽局」。在囚徒困境中，無論對方如何行動，都有一個最佳行動；但在膽小鬼賽局中，最佳行動卻取決於對方的行動。

您可能在動畫或電影中看過「膽小鬼賽局」。

在典型的膽小鬼賽局中，兩名玩家分別駕駛汽車，朝著彼此直線行駛。率先轉向避開碰撞的一方被稱為「膽小鬼」，視為失敗。

在賽局理論中，膽小鬼賽局被視為一個重要的談判基本原則。其特點在於，儘管雙方都有機會讓步，但除非至少有一方讓步，否則悲劇性的結局將無法避免。

與「碰撞」相比，「屈辱」地避開碰撞是相對微小的代價。因此，從理性角度來看，避開碰撞是合理的行動。然而，如果對方是那種只會選擇避開碰撞的玩家，那麼自己就沒有必要避開了。

膽小鬼賽局中，「協調」代表轉動方向盤的選擇，「背叛」則代表直行的選擇。在這個賽局中，規則是在賽局開始前就必須決定好策略，即使在賽局開始後得知對方的行動，最初決定的策略也必須執行。

協調賽局（Coordination Game）

「協調賽局」，又稱「協同賽局」，簡單來說就是「選擇與他人相同的行動會比較好」的賽局。

排除使用機率的混合策略，最終的納許均衡結果是「所有人都選擇相同的行動」，這屬於「多重均衡」的情況，也就是存在多個可能的結果。

協調賽局的一些簡單例子包括：

賽局理論在金融市場的應用

賽局理論在金融市場中有廣泛的應用。例如，在外匯交易中，各國央行的貨幣政策決策可以視為一種賽局。當聯準會考慮升息時，必須考慮其他央行如ECB或BOE可能的反應。這種策略互動正是賽局理論所研究的核心問題。

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